ما هي الأمثلة لنظرية بلزانو؟

في البداية يجب أن نعرف نظرية بلزانو،  Belzano Theorem بالإنجليزية، وهي تنص على أنه لا يمكن أن تتغير إشارة الاقتران المتصل من دون أن تصبح القيمة لهذا الاقتران  صفرا

من الأمثلة عليها استخدامها في إيجاد جذر الرقم 13
نفترض أن 
 √ س=13
أي أن س^2=13
ومنه س^2-13=صفر
نفرض اقتران ق(س)=س^2-13 وس تنتمي للمجموعة المغلقة [3,4]
ولأنه يعتبر اقتران كثير الحدود فهو متصل
وبالتأكد من النظرية، بإيجاد جذر المربعات الأكبر والأقل منه لتحديد الجذر للرقم 13 كمجموعة
ق(4)= 16 - 13 = 3 وهو رقم موجب
ق(3)= 9 - 13 = -4 وهو رقم سالب
أي هناك رقم ما بين هذين الرقمين يجعل هذا الاقتران يساوي صفرا
وهو جذر الرقم 13, ويمكننا الحصول عليه بطرق تقريبية مثل 
محاولة إيجاد المجموع Average بين الحدين
ق(3.5) = ((3+4)^2)\2 - 13 = -0.75
وهو الرقم التقريبي للسوالب 
وثم نقوم بتقليص المسافة شيئا فشيئا حتى نحصل على الرقم الذي تساويه هذا الجذر
وذلك بأخذ الحدين في كل مجموعة 
(3.5+4)\2 وتساوي 3.75 وهي الحد الموجب، بدليل تطبيقها في الاقتران يكون الناتج 14.06-13=1.06
اذا أصبح عندنا حدود جديدة
نقوم بأخذ مجموعها ((3.5+3.75)\2)^2-13 = 13.14-13=0.14
وهذا رقم تقريبي قد يؤول للصفر وهو كافي في بعض الأمثلة