كيف يمكنني التميز بين طرق حل المعادلات التفاضلية، مثل طريقة فصل المتغيرات، وطريقة التجانس، وطريقة المعاملات الخطية، وطريقة التامة، وطريقة برنولي، وطريقة اويلر؟

التمييز بين الطرق المستخدمة لحل المعادلة التفاضلية ليس بالأمر البسيط كما كنا نتوقعه من الكتب التي درسناها في المدرسة. لذلك، يجب أن تفهم كل طريقة وما هي الشروط والقواعد المحددة لها، لكي تُدرك الحالات التي تستدعي أن يستخدم فيها طريقة معيّنة لحلّ المعادلة المطلوبة.

وبشكل أكثر تفصيلاً، فإنَّ طريقة أويلر تُستخدم لحلّ معادلة تفاضلية مرتبطة إمّا بشروط أوليّة أو حدّية، إضافةً إلى أنّها تُستخدم للحصول على حلّ رقمي فقط. 

وفي الغالب، يكون حل المعادلات التفاضلية يتضمّن التكامل. وفي هذه الحالات للأسف عادةً ما يكون حل المعادلات التفاضلية أكثر تعقيدًا من مجرد كتابة تكامل وتقييمه. 

- أمَّا عن النوع الوحيد من المعادلات التفاضلية الذي يمكن حلّه بهذه الطريقة، هو أبسط نوع من المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى، والتي يمكن كتابتها في شكل معادلات قابلة للفصل، معادلات تفاضلية خطّية متجانسة، معادلات غير خطية وما إلى ذلك. 

فالمعادلة التفاضلية، هي معادلة رياضية تتعلّق ببعض الوظائف بمشتقاتها. ولكيفية تحديد المعادلة، اتّبع مايلي: 

- كل من النوعين السابقين قد تكون معادلات خطيّة أو غير خطيّة، ولكل منهما شروط، حيثُ:

المعادلة التفاضلية تكون خطية، في حال:
* إذا كان كل من المعاملات للمتغيّر التابع والمشتقات فيها، ثوابت أو دالّة في المتغيّر المستقل.
* إذا كان كل من المتغير التابع والمشتقات في المعادلة غير مرفوعة لأسس، بمعنى أن تكون جميعها من الدرجة الأولى.

- وفي حال عدم تحقق الشروط السابقة، تكون عندها المعادلة التفاضلية غير خطيّة.

وكقاعدة عامّة، فإنَّ:
كل معادلة تفاضلية خطية تكون معادلة من الدرجة الأولى، بينما ليست كل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى هي معادلات خطيّة، لأنّ درجة المعادلة يتم تحديدها على حسب أعلى أس للتفاضل، وقد تكون التفاضلات الأقل مرفوعة لأسس غير الواحد دون أن يؤثّر ذلك على الدرجة، وهذا الشيء لا يحقق الشروط التي تكون عليها المعادلة الخطيّة.

وبالنسبة لمعادلة برنولي، هي معادلة من الرتبة الأولى والدرجة الأولى ولكنها ليست معادلة خطية، حيثُ:

Y' + a(x)y = b(x)y^n,  n≠1