هل يمكن كتابة معادلة على صورة حاصل ضرب عوامل دالة كثيرة حدود من الدرجة الخامسة، ولها صفران تخيليان وصفر غير صحيح وصفران غير نسبيين، وماذا يُقصد بالصفر غير الصحيح وغير النسبي؟

لا، وسأوضّح لك في مثال لاحقاً حول الأصفار الناتجة من تحليل معادلة من الدرجة الخامسة.
كما أود أن أشير إلى أنَّه وبحسب مبرهنة أبيل_روفيني الرياضية (Abel_Ruffini theorem) والتي تنص على أنه ليس هناك حلول جبرية للمعادلات الحدودية من الدرجة الخامسة وما فوق، ومعنى ذلك ليس أنه لا توجد حلول نهائياً بل هناك على الأقل حل عقدي واحد.
ويمكنك النظر إلى البرهان.


يُقصد بِـالصفر غير الصحيح: هي الأعداد الناتجة من مساواة الحد بالصفر (صفر الدالة)أي جذورها وتكون هذه الأعداد تحتوي على كسور وعلى فواصل.
أمّا الصفر غير النسبي: هي الأعداد الناتجة من مساواة الحد بالصفر (القيم التي تجعل قيمة كثير الحدود يساوي صفر) بحيث ينتج أعداد لا يمكن كتابتها على صورة بسط ومقام (كسر)، وتشمل القيمة العشرية غير المنتهية أو غير دورية، والجذر التربيعي لمربع غير كامل مثل الجذر التربيعي للعدد 11.


مثال للتوضيح:

أعلم أنّه من الصعب أحياناً تحليل المعادلة كثيرة الحدود من الدرجة الخامسة لأنه يتطلب إيجاد نمط معيّن ومن دون إستخدام الآله الحاسبة.لِأوضّح لك من خلال المثال التالي:

معادلة كثيرة الحدود من الدرجة الخامسة، لحساب أصفار المعادلة.
 P(x) = 2x^(5)+x^(4)-2x-1
نُلاحظ في هذه المعادلة أنَّ لدينا  2x بدرجة أعلى وx بدرجة واحدة أقل و2x حد من الدرجة الأولى وحد من الدرجة صفر.
نحاول تحليل كل حدين معاً، ومن ثم تحليل الحدود لتبسيط المعادلة
 (X^4(2x+1)-1(2x+1
وبعدها نخرج 2x+1  عامل مشترك بين الحدين
(2x+1)(x^4-1)
الآن نستطيع حساب الأصفار (قيم X التي تجعل قيمة كثيرة الحدود تساوي صفر)

2x+1=0
(x^4-1)= (x^2+1)(x^2-1)= (x^2+1)(x+1)(x-1)

أقصى حد يمكننا تحليل المعادلة إلى :
(P(x) = (2x+1)(x^2+1)(x+1)(x-1

P(x)=0
إذا كان أحد التعابير يساوي0 لذلك:

2x+1=0
2x=-1
X=-1/2 
وهو أحد الأصفار الحقيقية للدالة. 

X^2+1=0
X^2=-1 
وهنا نفرض أعداد تخيُّليّة لقيمة X. (أصفار غير حقيقية)

X+1=0
X=-1 
وهو صفر حقيقي. 
X-1=0
X=1 
وهو صفر حقيقي.


نلاحظ أنّه نتج صفران تخيّليان وصفر غير صحيح وصفران نسبيين.