ماذا نستفيد من دراسة التفاضل والتكامل في حياتنا؟

لا بدَّ أن معظمنا بدأ يتعلم عن حساب التفاضل والتكامل في المدرسة الثانوية، و نحن نعلم مسبقاً أيضاً أنه علم يتضمن الآليات و الكيفيات المختلفة للقيام بعمليات التكامل و التفاضل، ولكن السؤال الحقيقي هو : ما هي فائدته و تطبيقاته المختلفة في حياتنا؟
تظهر لغة حساب التفاضل والتكامل في كل مكان في العلوم و التكنولوجيا سواءً كنا نقوم بنمذجة الارتفاع و الهبوط في سوق الأسهم أو كنا نقوم بتحديد متى سيصل صاروخ فضائي إلى مداره حول كوكب الأرض، إنها ببساطة لغة صممت بهدف وصف الطبيعة الديناميكية لكوننا، و ببساطة القول، إن التفاضل والتكامل ما هو إلا رياضيات الحركة و التغيير.

إن مفردة "التفاضل والتكامل" أو Calculas منشؤها أصلاً من الكلمة اللاتينية التي تعني "حصاة"، حيثُ استخدام الرومان قديماً الحصى لإجراء العمليات الحسابية عليها، و الكلمة أصبحت مرتبطة بشكل عام مع الحساب تمامًا مثل كلمة "آلة حاسبة". إن جمال التفاضل والتكامل لا ينحصر فقط في الرياضيات وحدها، بل إنها الطريقة التي يمكن أن يشكل بها التفاضل والتكامل صلة أو علاقة أو لغة لوصف الطبيعة الديناميكية لعالمنا. هناك استخدامات و فوائد للتفاضل و التكامل لا حصر لها في عدة مجالات، و كما قلنا سابقاً، إن التفاضل والتكامل ما هو إلا لغة الحركة و التغيير، و باستخدام التفاضل والتكامل يصبح لدينا القدرة على إيجاد آثار تغيير الظروف على نظام معيّن مثل الطقس مثلاً، فعلى سبيل المثال في الغلاف الجوي يحدثتغيير درجة الحرارة والتغيير على الضغط بشكل مستمرّ، و باستخدام التفاضل و التكامل يقوم علماء الأرصاد الجوية بتوقع حالة الطقس.

يحمل التفاضل والتكامل قوة لا تصدق يهيمن بها على العوالم المادية عن طريق النمذجة و أنظمة التحكم، هي لغة علماء الطب والعلماء، المهندسين، الإحصائيين، الفيزيائيين، والاقتصاديين. إذا كانت كمية ما أو نظام ما يتغير فنحن نستطيع استخدام النمذجة الرياضية للتفاضل و التكامل لتحليل نظام معيّن، و العثور على الحل الأمثل، و توقع الشكل الذي سيكون عليه في المستقبل أيضاً.

حركة الكهرباء والحرارة و الضوء، التوافقيات وعلم الفلك الصوتي، معدلات تفاعل الاضمحلال الإشعاعي و معدلات التفاعل، معدلات الوفيات والولادة، و غيرها.. كل هذه يمكن تصميمها بشكل جميل ومنسّق باستخدام التفاضل والتكامل.

في التفاضل والتكامل لدينا فرعين اثنين مختلفين:

الفرع الأول : التفاضل : وهذا يشمل مبدأ اشتقاق اقتران ما، إن وظيفة هذا الفرع من التفاضل والتكامل هي دراسة السلوك و المعدل الذي تتغير عنده كمية مثل المسافة على سبيل المثال مع الزمن.
عندما نستخدم عملية التفاضل، نحن في الأساس نقوم بتحليل معدل تغيّر الكمية و و هذا يعطينا مجموعة من التنبؤات عن سلوكها، فإذاً من خلال إيجاد المشتقة، يمكننا إيجاد معدل التغير اللحظيّ في أي وقت عند أي نقطة.

الفرع الثاني: التكامل : و هو عملية عكسية للتفاضل، و يسمّى أحياناً مضاد-التفاضل.يمكننا مع التكامل وصف منطقة ثنائية الأبعاد منحنية الحدود، أو وصف حجم ثلاثي الأبعاد مع حدود منحنية.


كل من هذين الفروع فرع التفاضل و فرع التكامل مرتبطين ببعضها البعض بواسطة "النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل" هذه النظرية التي أسسها كل من نيوتن Newton و ليبنيتز Leibniz تنص على أن التفاضل والتكامل عمليتان عكسيتان و متضادتان تمامًا.